- Tenga un Nº finito de discontinuidades.
- Valor medio en periodo T sea finito.
- Tenga Nº finito de máximos positivos y negativos
cumpliéndose estas condiciones (condiciones de Dirichlet), existe
la serie de Fourier, y puede expresarse en forma trigonométrica de
la siguiente forma:
Haciendo uso de las propiedades de ortogonalidad e integrales, obtenemos que:
Y viene dada por :
, con discontinuidades para
Siendo k=0,1,2,…
Mediante estos coeficientes del seno y el valor medio la serie es:
Si en las series trigonométricas se expresan todos los términos en seno y coseno por medio de sus equivalentes exponenciales el resultado será una serie de términos exponenciales.
Ahora puede definirse una nueva constante compleja A tal que:
Con esto se transforma:
Para establecer los coeficientes, se multiplican ambos miembros por Y se integran en un periodo completo
Las integrales definidas del segundo miembro, son todas iguales a cero, a excepción de
Por lo tanto: Los coeficientes de la serie trigonométrica se deducen de los de la serie exponencial en la forma siguiente: Se suman y luego se restan las expresiones de la siguiente manera:
Ejemplo
Se deduce que el valor medio de la función es 5, entonces sustituyendo tenemos que:
Llevando los coeficientes a la forma exponencial, tenemos que:
Los coeficientes cosenos de la serie son:
Los coeficientes senos de la serie son: De acuerdo a lo anterior, las serie resulta como se muestra a continuación:
Serie:
Simetría de las formas de ondas
El conocer de la simetría de onda con la que se trabaja, permite en muchos casos reducir la cantidad de cálculos.
Para esto son importantes las siguientes definiciones:
Función Par
Una función f(t) es par cuando f(t)=f(-t)
La suma de dos o mas funciones pares es otra función par, y la adición de una constante no varia la naturaleza par de la función, como ejemplo se tiene la función coseno
Función Impar
La suma de dos o mas funciones impares es otra función impar, y la adición de una constante no varia la naturaleza impar de la función. El producto de dos funciones impares es una función par, como ejemplo se tiene la función seno.
Función Periódica
Es una función f(t) que tiene simetría de semionda
Una vez establecido el tipo de simetría de una onda se llaga a las conclusiones siguientes, por ejemplo si la forma de onda es par, todos los términos de la serie correspondiente son cosenos. En el caso que la función sea impar, todos los términos de la función son senos mas algún valor constante si es que tiene un valor medio distinto de cero.
Si la función solo tiene simetría de semionda, entonces la serie contiene solo armónicos impares. Esta serie contiene términos en son y coseno, además para este caso los términos a y b son nulos para k=2,4,6,…
Espectro de lineas
•Es una representación grafica en la que figuran todas las amplitudes de los armonicos. La lineas decrecen rapidamente para ondas con series rapidamente convergentes. Las ondas con discontinuidades, tales como el diente de sierra y la onda cuadrada, tienen espectro con amplitudes que decrecen lentamente, ya que sus series poseen armonicos muy altos.
•El numero de armonicos y el espectro de lineasde una onda formanparte de su naturalezay son invariantes respecto del metodo de analisis que se haga.
•En Electrónica, hay un instrumento que mide y entrega de forma grafica los espectros, este se llama “Analizador de espectros”.
•Ejemplos grafico de armónicas.
Es la recombinación de los términos de la serie trigonométrica de fourier, es decir se trata de aproximar la función mediante la suma de señales armónicas infinitas. Mientras nuestra aproximación contenga mas términos esta será mucho mejor y se asemejara a la forma de onda original
Esto lo podemos ver haciendo una aproximación a una señal cuadrada con cantidades distintas de armónicas
con 1 armónicas
con 4 armónicas
con 20 armónicas
concluimos que a mayor cantidad de armónicas, mejor sera la aproximacion a la señal original.
Y que las primeras armónicas son las mas influyentes en la forma final de la señal.
Valor eficaz y potencia
Se llama valor eficaz(o Rms root mean square- raíz media cuadrada) de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que la corriente alterna en una resistencia común.
Ahora si consideramos una función periódica y continua
El valor eficaz de esta función seráAhora nuestra ecuación quedaComo dijimos anteriormente podemos considerar un circuito lineal donde el voltaje y la corriente tengan distintas amplitudes y desfasesLos valores eficaces de v e i son
La potencia media (activa) la encontramos de la integral de la potencia instantánea
Luego de la integración el producto de las constantes sigue siendo
resultan ser
Esta ecuación es una expresión general de la potencia ya que incluye la potencia en CC expresada como V0*I0
Podemos usar el método de fourier para expresar una señal la cual esta definida de una forma especifica para ciertos intervalos a una señal la cual tenga una sola expresión, esto nos puede facilitar muchos cálculos y ahorrar tiempo
Mostremos con un circuito capacitivo si la suma de fuentes como dice fourier es igual a una fuente definida. Veremos si los efectos producidos sobre la carga y descarga de un condensador son los mismos en una señal cuadrada que en la aproximación de esta por medio de fourier.
primero veamos el circuito
como podemos apreciar en la figura es un circuito simulado en multisim 10, el oosiloscopio muestra la respuesta de las cuatro funtes alternas las cuales estan ordenas desde la primera armonica a la 4 armonica. como vemos en el osiloscopio la respuesta es igual a la aproximacion de fourier con 4 armonicas de una señal cuadrada.
ahora veamos que sucede cuando integramos una resistencia y un condensador para producir un circuito RC
la imagen qu vemos es muy interesante ya que el condensador se esta cargando y descagando mediante una aproximacion de una señal cudrada.
Podemos concluir que el método de fourier es una gran herramienta para simplificar el análisis de funciones continuas, con esta herramienta podemos encontrar los espectros de línea los cuales son muy útiles en sistemas para poder detectar por ejemplo cuales son las frecuencias mas relevantes y si una señal contiene perturbaciones.