miércoles, 23 de abril de 2008

Series trigonométricas de Fourier

Series trigonométricas de Fourier

Toda forma de onda periódica, puede expresarse por una serie de Fourier, siempre que:
  • Tenga un Nº finito de discontinuidades.
  • Valor medio en periodo T sea finito.
  • Tenga Nº finito de máximos positivos y negativos

cumpliéndose estas condiciones (condiciones de Dirichlet), existe

la serie de Fourier, y puede expresarse en forma trigonométrica de
la siguiente forma:

Cada termino de la suma corresponde a una armónica.
Haciendo uso de las propiedades de ortogonalidad e integrales, obtenemos que:

Ejemplo 1
Determinar la serie de fourier para una onda diente de sierra, continua en



Y viene dada por :
, con discontinuidades para

Siendo k=0,1,2,…

Por lo tanto, la serie no tiene términos en coseno

Mediante estos coeficientes del seno y el valor medio la serie es:

Expresión exponencial de las series de fourier

Si en las series trigonométricas se expresan todos los términos en seno y coseno por medio de sus equivalentes exponenciales el resultado será una serie de términos exponenciales.



Ahora puede definirse una nueva constante compleja A tal que:

Con esto se transforma:


Para establecer los coeficientes, se multiplican ambos miembros por Y se integran en un periodo completo


Las integrales definidas del segundo miembro, son todas iguales a cero, a excepción de
Por lo tanto: Los coeficientes de la serie trigonométrica se deducen de los de la serie exponencial en la forma siguiente: Se suman y luego se restan las expresiones de la siguiente manera:
Ejemplo


Determinar la serie de fourier para una onda diente de sierra, en el intervalo
La f unción viene dada por :
Se deduce que el valor medio de la función es 5, entonces sustituyendo tenemos que:
Llevando los coeficientes a la forma exponencial, tenemos que:
Los coeficientes cosenos de la serie son:
Los coeficientes senos de la serie son: De acuerdo a lo anterior, las serie resulta como se muestra a continuación:
Serie:



Simetría de las formas de ondas



El conocer de la simetría de onda con la que se trabaja, permite en muchos casos reducir la cantidad de cálculos.
Para esto son importantes las siguientes definiciones:


Función Par



Una función f(t) es par cuando f(t)=f(-t)
La suma de dos o mas funciones pares es otra función par, y la adición de una constante no varia la naturaleza par de la función, como ejemplo se tiene la función coseno



Función Impar



La suma de dos o mas funciones impares es otra función impar, y la adición de una constante no varia la naturaleza impar de la función. El producto de dos funciones impares es una función par, como ejemplo se tiene la función seno.



Función Periódica



Es una función f(t) que tiene simetría de semionda

Una vez establecido el tipo de simetría de una onda se llaga a las conclusiones siguientes, por ejemplo si la forma de onda es par, todos los términos de la serie correspondiente son cosenos. En el caso que la función sea impar, todos los términos de la función son senos mas algún valor constante si es que tiene un valor medio distinto de cero.

Si la función solo tiene simetría de semionda, entonces la serie contiene solo armónicos impares. Esta serie contiene términos en son y coseno, además para este caso los términos a y b son nulos para k=2,4,6,…




Espectro de lineas


•Es una representación grafica en la que figuran todas las amplitudes de los armonicos. La lineas decrecen rapidamente para ondas con series rapidamente convergentes. Las ondas con discontinuidades, tales como el diente de sierra y la onda cuadrada, tienen espectro con amplitudes que decrecen lentamente, ya que sus series poseen armonicos muy altos.
•El numero de armonicos y el espectro de lineasde una onda formanparte de su naturalezay son invariantes respecto del metodo de analisis que se haga.
•En Electrónica, hay un instrumento que mide y entrega de forma grafica los espectros, este se llama “Analizador de espectros”.
•Ejemplos grafico de armónicas.

sintesis de ondas

Es la recombinación de los términos de la serie trigonométrica de fourier, es decir se trata de aproximar la función mediante la suma de señales armónicas infinitas. Mientras nuestra aproximación contenga mas términos esta será mucho mejor y se asemejara a la forma de onda original


Esto lo podemos ver haciendo una aproximación a una señal cuadrada con cantidades distintas de armónicas

con 1 armónicas



con 4 armónicas



con 20 armónicas



con 500 armónicas



concluimos que a mayor cantidad de armónicas, mejor sera la aproximacion a la señal original.
Y que las primeras armónicas son las mas influyentes en la forma final de la señal.

Valor eficaz y potencia


Se llama valor eficaz(o Rms root mean square- raíz media cuadrada) de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que la corriente alterna en una resistencia común.

Ahora si consideramos una función periódica y continua

El valor eficaz de esta función seráAhora nuestra ecuación queda

Como dijimos anteriormente podemos considerar un circuito lineal donde el voltaje y la corriente tengan distintas amplitudes y desfases

Los valores eficaces de v e i son


La potencia media (activa) la encontramos de la integral de la potencia instantánea

Luego de la integración el producto de las constantes sigue siendo v*i,y las senoidales al cuadrado

resultan ser

Esta ecuación es una expresión general de la potencia ya que incluye la potencia en CC expresada como V0*I0 y en CA seria la expresión completa.

Aplicación al análisis de circuitos

Podemos usar el método de fourier para expresar una señal la cual esta definida de una forma especifica para ciertos intervalos a una señal la cual tenga una sola expresión, esto nos puede facilitar muchos cálculos y ahorrar tiempo

Mostremos con un circuito capacitivo si la suma de fuentes como dice fourier es igual a una fuente definida. Veremos si los efectos producidos sobre la carga y descarga de un condensador son los mismos en una señal cuadrada que en la aproximación de esta por medio de fourier.

primero veamos el circuito

como podemos apreciar en la figura es un circuito simulado en multisim 10, el oosiloscopio muestra la respuesta de las cuatro funtes alternas las cuales estan ordenas desde la primera armonica a la 4 armonica. como vemos en el osiloscopio la respuesta es igual a la aproximacion de fourier con 4 armonicas de una señal cuadrada.

ahora veamos que sucede cuando integramos una resistencia y un condensador para producir un circuito RC

la imagen qu vemos es muy interesante ya que el condensador se esta cargando y descagando mediante una aproximacion de una señal cudrada.

conclucion

Podemos concluir que el método de fourier es una gran herramienta para simplificar el análisis de funciones continuas, con esta herramienta podemos encontrar los espectros de línea los cuales son muy útiles en sistemas para poder detectar por ejemplo cuales son las frecuencias mas relevantes y si una señal contiene perturbaciones.





1 comentario:

YA76OO dijo...

I am a frequent reader of your blog!! Love it!!